GC G = GRAVIDADE CURVA GRACELI.
O escalar de curvatura de Ricci pode ser expresso em termos do tensor métrico (e suas derivadas primeiras) que define a geometria da superfície ou variedade riemanniana. Usando
sendo o tensor de curvatura de Ricci.
GCG = [ G / ] / EV .= d .
d .d = dimensões.
Em matemática, a curvatura escalar de uma superfície é a familiar curvatura gaussiana. Para as variedades riemannianas de dimensão mais alta (n > 2), é o dobro da soma de todas as curvaturas seccionais ao longo de todos os 2-planos atravessados por um certo marco ortonormal. Matematicamente a curvatura escalar coincide também o traço total da curvatura de Ricci assim como do tensor de curvatura.
Expressão em componentes[editar | editar código-fonte]
O escalar de curvatura de Ricci pode ser expresso em termos do tensor métrico (e suas derivadas primeiras) que define a geometria da superfície ou variedade riemanniana. Usando a convenção de soma de Einstein, obtemos
- ,
![{\displaystyle R=-g^{\mu \nu }\left[\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\sigma }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }\Gamma _{\nu \lambda }^{\sigma }\right]-\partial _{\nu }\left[g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\Gamma _{\mu \sigma }^{\nu }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132b079bf518c07df61573dccb6a610cf33a12cb)
em que os símbolos de Christoffel que aparecem na expressão anterior são calculados a partir das derivadas primeiras das componentes do tensor métrico, isto é,
- .
Também podemos representar o tensor escalar da curvatura de Ricci como
- ,
sendo o tensor de curvatura de Ricci.
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