MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

  MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

equação Graceli dimensional relativista  tensorial quântica de campos  G* =  = [  /  IFF ]   G* =   /  G  /     .=   /  G  = [DR] =            .= +   +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

//////

[  /  IFF ]  = INTERAÇÕES DE FORÇAS FUNDAMENTAIS. =

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

G* =  OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI,  E OUTROS.

/

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

 MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS. EM :

O teorema de Ehrenfest, nomeado a partir de Paul Ehrenfest, físico e matemático austríaco, relaciona a derivada do tempo do valor esperado para um operador na mecânica quântica para o comutador deste operador com o hamiltoniano do sistema. Isto é:

${\displaystyle \frac{�}{��}⟨�⟩=\frac{1}{�\hslash }⟨[�,�]⟩+⟨\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}⟩}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde A é algum operador da mecânica quântica e ${\displaystyle ⟨�⟩}$ é seu valor esperado.

O Teorema de Ehrenfest é obviamente a Representação de Heisenberg da mecânica quântica, onde isto é apenas o valor esperado do momento da Equação de Heisenberg.

O teorema também é altamente relacionado com o Teorema de Liouville da mecânica hamiltoniana, que envolve os Parênteses de Poisson ao invés do comutador.

Derivação[editar | editar código-fonte]

Suponha que o sistema seja apresentado em um estado quântico ${\displaystyle \mathrm{\Phi }}$. Se nós quisermos saber a derivada do tempo instantânea do valor esperado de A, que é, por definição:

${\displaystyle \frac{�}{��}⟨�⟩=\frac{�}{��}\int {\mathrm{\Phi }}^{\ast }�\mathrm{\Phi }�{�}^3=\int \left(\frac{\mathrm{\partial }{\mathrm{\Phi }}^{\ast }}{\mathrm{\partial }�}\right)�\mathrm{\Phi }�{�}^3+\int {\mathrm{\Phi }}^{\ast }\left(\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}\right)\mathrm{\Phi }�{�}^3+\int {\mathrm{\Phi }}^{\ast }�\left(\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }�}\right)�{�}^3}$

${\displaystyle =\int \left(\frac{\mathrm{\partial }{\mathrm{\Phi }}^{\ast }}{\mathrm{\partial }�}\right)�\mathrm{\Phi }�{�}^3+⟨\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}⟩+\int {\mathrm{\Phi }}^{\ast }�\left(\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }�}\right)�{�}^3,}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde nós temos integrando por todo espaço. Se nós aplicarmos a Equação de Schrödinger, encontraremos isto:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }�}=\frac{1}{�\hslash }�\mathrm{\Phi }}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

e isto:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{\mathrm{\Phi }}^{\ast }}{\mathrm{\partial }�}=\frac{-1}{�\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{\ast }{�}^{†}=\frac{-1}{�\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{\ast }�.}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Perceba que ${\displaystyle �={�}^{†}}$ porque o Hamiltoniano é um operador autoadjunto. Colocando isto na equação acima nós obteremos:

${\displaystyle \frac{�}{��}⟨�⟩=\frac{1}{�\hslash }\int {\mathrm{\Phi }}^{\ast }(��-��)\mathrm{\Phi }�{�}^3+⟨\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}⟩=\frac{1}{�\hslash }⟨[�,�]⟩+⟨\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}⟩.}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Diversas vezes (mas não sempre) o operador A é independente do tempo, então sua derivada será zero e nós poderemos ignorar o último termo da equação.

Exemplo geral[editar | editar código-fonte]

Pelo exemplo mais geral possível de uma partícula de grande massa se movendo em um vetor potencial, o Hamiltoniano é simplesmente:

${\displaystyle �(�,�,�)=\frac{{�}^2}{2�}+�(�,�)}$ / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde ${\displaystyle �}$ é simplesmente a localização da partícula. Suponha que nós quiséssemos saber a mudança instantânea do momento ${\displaystyle �}$. Utilizando o teorema de Ehrenfest, teremos:

${\displaystyle \frac{�}{��}⟨�⟩=\frac{1}{�\hslash }⟨[�,�]⟩+⟨\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}⟩=\frac{1}{�\hslash }⟨[�,�(�,�)]⟩}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

já que o operador ${\displaystyle �}$ comuta com ele mesmo e não obtém dependência com o tempo. Expandindo o lado direito da equação, substituindo p por ${\displaystyle -�\hslash \mathrm{\nabla }}$, nós obteremos:

${\displaystyle \frac{�}{��}⟨�⟩=\int {\mathrm{\Phi }}^{\ast }�(�,�)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }�{�}^3-\int {\mathrm{\Phi }}^{\ast }\mathrm{\nabla }(�(�,�)\mathrm{\Phi })�{�}^3.}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Após adicionar a regra do produto ao segundo termo, teremos:

${\displaystyle \frac{�}{��}⟨�⟩=\int {\mathrm{\Phi }}^{\ast }�(�,�)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }�{�}^3-\int {\mathrm{\Phi }}^{\ast }(\mathrm{\nabla }�(�,�))\mathrm{\Phi }�{�}^3-\int {\mathrm{\Phi }}^{\ast }�(�,�)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }�{�}^3}$

${\displaystyle =-\int {\mathrm{\Phi }}^{\ast }(\mathrm{\nabla }�(�,�))\mathrm{\Phi }�{�}^3}$

${\displaystyle =⟨-\mathrm{\nabla }�(�,�)⟩=⟨�⟩,}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

mas nós reconheceremos isto como a segunda lei de Newton.

Similarmente nós poderemos obter a mudança de posição instantânea do valor esperado.

${\displaystyle \frac{�}{��}⟨�⟩=\frac{1}{�\hslash }⟨[�,�]⟩+⟨\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}⟩=}$

${\displaystyle =\frac{1}{�\hslash }⟨[�,\frac{{�}^2}{2�}+�(�,�)]⟩+0=\frac{1}{�\hslash }⟨[�,\frac{{�}^2}{2�}]⟩=}$

${\displaystyle =\frac{1}{�\hslash }⟨[�,\frac{{�}^2}{2�}+�(�,�)]⟩=\frac{1}{�\hslash 2�}⟨[�,�]\frac{�}{��}{�}^2⟩=}$

${\displaystyle =\frac{1}{�\hslash 2�}⟨�\hslash 2�⟩=\frac{1}{�}⟨�⟩}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Este resultado é novamente em acordo com a equação clássica.

Na física, teoria de campo de Liouville, ou simplesmente (teoria de Liouville) é uma teoria quântica de campos bidimensional cuja equação clássica de movimento se assemelha a equação diferencial não-linear de segunda ordem de Joseph Liouville a que aparece no problema geométrico clássico de uniformização de superfícies de Riemann.

A teoria de campo é definida pela ação local:

${\displaystyle �=\frac{1}{4�}\int {�}^2�\sqrt{�}({�}^{��}{\mathrm{\partial }}_{�}�{\mathrm{\partial }}_{�}�+(�+{�}^{-1})��+4�{�}^{2��}),}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde ${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{�}=\mathrm{\partial }/\mathrm{\partial }{�}^{�},{�}_{��}}$ é a métrica do espaço bidimensional em que a teoria de campo é formulada, ${\displaystyle �}$ é o escalar Ricci de tal espaço, e ${\displaystyle �}$ é um acoplamento constante real. O campo ${\displaystyle �}$ é consequentemente chamado de campo Liouville.

A equação de movimento associado a esta ação é ::${\displaystyle \mathrm{\Delta }�(�)=\frac{1}{2}(�+{�}^{-1})�(�)+4��{�}^{2��(�)}}$ / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde ${\displaystyle \mathrm{\Delta }={�}^{-1/2}{\mathrm{\partial }}_{�}({�}^{1/2}{�}^{��}{\mathrm{\partial }}_{�})}$ é o operador de d'Alembert nesse espaço. No caso, a métrica do espaço sendo a métrica Euclidiana e utilizando a notação padrão, torna-se a equação clássica de Liouville.

${\displaystyle \left(\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{�}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{�}^2}\right)�(�,�)=4��{�}^{2��(�,�)}}$^[1]

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

A teoria de Chern-Simons, nomeada em homenagem a Shiing-Shen Chern e James Harris Simons, é uma teoria de campo quântico topológico tridimensional do tipo Schwarz, desenvolvida por Edward Witten.^[1] É assim chamado porque sua ação é proporcional à integral da forma 3 de Chern-Simons.^[2][3]

A teoria clássica[editar | editar código-fonte]

Origem matemática[editar | editar código-fonte]

Na década de 1940, S. S. Chern e A. Weil estudaram as propriedades globais de curvatura de variedades lisas M como co-homologia de Rham (teoria de Chern-Weil), que é um passo importante na teoria de classes características em geometria diferencial.

Dado um fibrado G-principal plano P em M, existe um homomorfismo único, chamado homomorfismo de Chern-Weil, da álgebra de polinômios invariantes aditivos G em g (álgebra de Lie de G) à co-homologia ${\displaystyle {�}^{\ast }(�,\mathbb{�})}$.^[4] Se o polinômio invariante for homogêneo, pode-se escrever concretamente qualquer forma k da conexão fechada ω como forma 2k da forma de curvatura associada Ω de ω.

Em 1974, S. S. Chern e J. H. Simons construíram concretamente uma forma (2k-1) df(ω) tal que

${\displaystyle ���(�)=�({\mathrm{\Omega }}^{�}),}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde T é o homomorfismo Chern-Weil. Esta forma é chamada de forma de Chern-Simons. Se df(ω) estiver fechado, pode-se integrar a fórmula acima

${\displaystyle ��(�)={\int }_{�}�({\mathrm{\Omega }}^{�}),}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde C é um ciclo bidimensional (2k-1) em M. Esse invariante é chamado invariante de Chern-Simons. O invariante de Chern-Simons (M) é o termo de fronteira que não pode ser determinado por nenhuma formulação combinatória pura. Também pode ser definido como

${\displaystyle ��(�)={\int }_{�(�)}\frac{1}{2}�{�}_1\in \mathbb{�}/\mathbb{�},}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde ${\displaystyle {�}_1}$ é o primeiro número de Pontryagin e s(M) é a seção do feixe ortogonal normal P.　Além disso, o termo Chern-Simons é descrito como o eta invariante definido por Atiyah, Patodi e Singer.

A invariância do medidor e a invariância métrica podem ser vistas como a invariância sob a ação do grupo de Lie adjacente na teoria de Chern-Weil. A integral de ação (integral do caminho) da teoria de campo na física é vista como a integral lagrangiana da forma de Chern-Simons e do loop de Wilson, holonomia do conjunto vetorial M. Isso explica por que a teoria de Chern-Simons está intimamente relacionada à teoria de campos topológicos.

Configurações[editar | editar código-fonte]

As teorias de Chern-Simons podem ser definidas em qualquer 3-variedade M topológica, com ou sem limite.^[5] Como essas teorias são teorias topológicas do tipo Schwarz, nenhuma métrica precisa ser introduzida em M.

A teoria de Chern-Simons é uma teoria de calibre, o que significa que uma configuração clássica na teoria de Chern-Simons em M com o grupo de calibre G é descrita por um pacote G principal on M. A conexão deste fibrado é caracterizado por uma conexão de forma única A, valorizada na álgebra de Lie g do grupo de Lie G.Em geral, a conexão A é definida apenas em fragmentos de coordenadas individuais, e os valores de A em fragmentos diferentes são relacionados por mapas conhecidos como transformações de gauge. Estes são caracterizados pela afirmação de que a derivada covariante, que é a soma do operador de derivada externa d e a conexão A, se transforma na representação adjunta do grupo de calibre G. O quadrado da derivada covariante consigo mesmo pode ser interpretado como uma forma bidimensional F com valor g chamada forma de curvatura ou força de campo. Também se transforma na representação adjunta.

Dinâmica[editar | editar código-fonte]

A ação S da teoria de Chern-Simons é proporcional à integral da forma tridimensional de Chern-Simons^[6]

${\displaystyle �=\frac{�}{4�}{\int }_{�}\text{tr}(�\wedge ��+\frac{2}{3}�\wedge �\wedge �).}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

A constante k é chamada de nível da teoria. A física clássica da teoria de Chern-Simons é independente da escolha do nível k.

Classicamente, o sistema é caracterizado por suas equações de movimento, que são os extremos da ação em relação às variações do campo A. Em termos da curvatura do campo

${\displaystyle �=��+�\wedge �}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

a equação de campo é explicitamente

${\displaystyle 0=\frac{��}{��}=\frac{�}{2�}�.}$

 / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

As equações clássicas de movimento são, portanto, satisfeitas se, e somente se, a curvatura desaparecer em todos os lugares; nesse caso, a conexão é considerada plana. Assim, as soluções clássicas da teoria de G Chern-Simons são as conexões planas dos principais fibrados G on M. As conexões planas são determinadas inteiramente por holonomias em torno de ciclos incontratáveis na base M. Mais precisamente, elas estão em correspondência individual com classes de equivalência de homomorfismos do grupo fundamental de M ao grupo de medida G até a conjugação.

Se M tem um limite N, existem dados adicionais que descrevem uma escolha de trivialização do pacote G principal em N. Essa escolha caracteriza um mapa de N a G. A dinâmica desse mapa é descrita por modelo de Wess-Zumino-Witten (WZW) em N no nível k.